Question

已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F.

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；

（3）求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）連接DO．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

∴DF為⊙O的切線；

（2）∵△OAD是等邊三角形，

∴AD=AO=AB=2．

∴CD=AC﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF=CD=1．

∴DF=；

（3）連接OE，由（2）同理可知CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S_{直角梯形FDOE}=（EF+OD）•DF=，

∴S_扇形OED==，

∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}﹣S_扇形OED=﹣．

【解析】（1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；

（2）由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；

（3）連接OE，求得CF，EF的長，從而利用S直角梯形FDOE-S扇形OED求得陰影部分的面積．