Question

在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax²+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，4），已知點B（2，0），連接BC．點P是y軸上一動點，連接PA、PB，動點P從點C出發(fā)，沿射線CO方向以每秒1個單位長度的速度運動，設運動時間為t（秒）．
（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式．
（2）點P在運動的過程中，當S_△ABP=S_△CPB時，求t的值．
（3）點P在運動的過程中，△ABP與△CPB均為軸對稱圖形時，這樣的t值有______個．

Answer 1

解：（1）將點C（0，4），點B（2，0）代入可得，，
解得：，
故可得二次函數(shù)解析式為：y=-x²+4．
（2）①當點P在線段OC上時，
S_△ABP=AB•OP=4×（4-t）=8-2t，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴8-2t=t，
解得：t=；
②當點P在x軸下方時，S_△ABP=AB•OP=4×（t-4）=2t-8，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴2t-8=t，
解得：t=8，
綜上可得當t=或8時，S_△ABP=S_△CPB．
（3）當△CBP是等腰三角形時，可滿足題意，
①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，

如圖所示，滿足題意得點P的坐標有三個．
分析：（1）將點C及點B的坐標代入即可得出a與c的值，繼而可得出拋物線對應的函數(shù)關系式；
（2）分兩種情況討論，①點P在x軸上方，②點P在x軸下方，分別表示出△ABP及△CPB的面積，然后根據(jù)S_△ABP=S_△CPB，可得出關于t的方程，解出即可．
（3）△APB是軸對稱圖形，只需滿足△CPB是軸對稱圖形即可，也就是只要△CPB是等腰三角形即可滿足條件，分情況討論，①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，分別作出圖形即可得出答案．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱的知識，解答本題的關鍵是掌握動點的移動速度與線段長度的關系．