(2012•懷柔區(qū)一模)探究:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=45°,試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出判斷結(jié)果:
EF=BE+DF
EF=BE+DF
;
(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點,且∠EAF=
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∠BAD”,則(1)問中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;
(3)在(2)問中,若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時,如圖3所示,其它條件不變,則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若變化,請給出結(jié)論并予以證明.
分析:(1)將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,得到△ABF′,然后求出∠EAF′=∠EAF=45°,利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=EF′,從而得解;
(2)將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,得到△ABF′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ADF和△ABF′全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF′=∠DAF,對應(yīng)邊相等可得AF′=AF,BF′=DF,對應(yīng)角相等可得∠ABF′=∠D,再根據(jù)∠EAF=
1
2
∠BAD證明∠EAF′=∠EAF,并證明E、B、F′三點共線,然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF′=EF,從而得解;
(3)將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,點F落在BC上點F′處,得到△ABF′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ADF和△ABF′全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF′=∠DAF,對應(yīng)邊相等可得AF′=AF,BF′=DF,再根據(jù)∠EAF=
1
2
∠BAD證明∠F′AE=∠FAE,然后利用“邊角邊”證明△F′AE和△FAE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=EF′,從而求出EF=BE-DF.
解答:解:(1)如圖1,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,得到△ABF′,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF′=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEF′中,
AF=AF′
∠EAF′=∠EAF
AE=AE
,
∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′,
又EF′=BE+BF′=BE+DF,
∴EF=BE+DF;

(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立.
理由如下:如圖2,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,得到△ABF′,
則△ADF≌△ABF′,
∴∠BAF′=∠DAF,AF′=AF,BF′=DF,∠ABF′=∠D,
又∵∠EAF=
1
2
∠BAD,
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′,
∴∠EAF=∠EAF′,
又∵∠ABC+∠D=180°,
∴∠ABF′+∠ABE=180°,
∴F′、B、E三點共線,
在△AEF與△AEF′中,
AF′=AF
∠EAF=∠EAF′
AE=AE
,
∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′,
又∵EF′=BE+BF′,
∴EF=BE+DF;

(3)發(fā)生變化.EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF=BE-DF.
理由如下:如圖3,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,點F落在BC上點F′處,得到△ABF′,
∴△ADF≌△ABF′,
∴∠BAF′=∠DAF,AF′=AF,BF′=DF,
又∵∠EAF=
1
2
∠BAD,且∠BAF′=∠DAF,
∴∠F′AE=∠BAD-(∠BAF′+∠EAD)=∠BAD-(∠DAF+∠EAD)=∠BAD-∠FAE=∠FAE,
即∠F′AE=∠FAE,
在△F′AE與△FAE中,
AF=AF′
∠F′AE=∠FAE
AE=AE
,
∴△F′AE≌△FAE(SAS),
∴EF=EF′,
又∵BE=BF′+EF′,
∴EF′=BE-BF′,
即EF=BE-DF.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.
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kx
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(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點Q在第三象限內(nèi),求點Q的坐標;
(3)設(shè)直線y=x+2與x軸交于點B,O為坐標原點,直接寫出△BOQ的面積=
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kx+k
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