【題目】在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,點M為BC邊上一動點(點M與點B、C不重合),連接AM,過點M作MN⊥AM,垂足為M,MN交CD或CD的延長線于點N.
(1)求證:△CMN∽△BAM;
(2)設(shè)BM=x,CN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.當(dāng)x取何值時,y有最大值,并求出y的最大值;
(3)當(dāng)點M在BC上運動時,求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍:①點N始終在線段CD上,②點M在某一位置時,點N恰好與點D重合.
【答案】
(1)
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°.
∵M(jìn)N⊥AM,即∠AMN=90°,
∴∠CMN+∠AMB=90°,
∴∠BAM=∠CMN,
∴△CMN∽△BAM;
(2)
∵△CMN∽△BAM,
∴.
∵BM=x,CN=y,AB=a,BC=AD=b,
∴,
∴y=(bx﹣x2)=(x2﹣bx)
=[(x﹣)2﹣]
=(x﹣)2+.
∵<0,
∴當(dāng)x=時,y取最大值,最大值為.
(3)
由題可知:
當(dāng)0<x<b時,y的最大值為a,即=a,
解得:b=2a.
∴要同時滿足兩個條件,b的值為2a.
【解析】(1)由四邊形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°,要證△CMN∽△BAM,只需證∠BAM=∠CMN即可;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),由△CMN∽△BAM即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式,然后只需運用配方法就可求出y的最大值;
(3)由點M在BC上運動(點M與點B、C不重合),可得0<x<b,要滿足條件①,應(yīng)保證當(dāng)0<x<b時,y≤a恒成立,要滿足條件②,需存在一個x,使得y=a,綜合條件①和②,當(dāng)0<x<b時y最大值應(yīng)為a,然后結(jié)合(2)中的結(jié)論,就可解決問題.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識,掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a,以及對矩形的性質(zhì)的理解,了解矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運動品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進(jìn)價和售價如下表.已知購進(jìn)60雙甲種運動鞋與50雙乙種運動鞋共用10000元
運動鞋價格 | 甲 | 乙 |
進(jìn)價(元/雙) | m | m﹣20 |
售價(元/雙) | 240 | 160 |
(1)求m的值;
(2)要使購進(jìn)的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價﹣進(jìn)價)超過21000元,且不超過22000元,問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案?
(3)在(2)的條件下,專賣店準(zhǔn)備決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,C、D是半圓的三等分點,延長AC,BD交于點E.
(1)求∠E的度數(shù);
(2)點M為BE上一點,且滿足EMEB=CE2 , 連接CM,求證:CM為⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D為AC邊的中點,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的長;
(2)在△ABC中,求BC邊上高的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲口袋中有三張完全相同的卡片,分別標(biāo)有﹣1,1,2,乙口袋中有完全相同的卡片,分別標(biāo)有﹣2,3,4,從這兩個口袋中各隨機取出一張卡片.
(1)用樹狀圖或列表表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求兩次取出卡片的數(shù)字之積為正數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】11月讀書節(jié),深圳市為統(tǒng)計某學(xué)校初三學(xué)生讀書狀況,如下圖:
(1)求三本以上的x值、參加調(diào)查的總?cè)藬?shù),并補全統(tǒng)計圖;
(2)三本以上的圓心角為 ° .
(3)全市有6.7萬學(xué)生,三本以上有 人.
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