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如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),過(guò)點(diǎn)C的直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:點(diǎn)C的坐標(biāo)是______,b=______,c=______;
(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示);
(3)依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由于直線y=x-3過(guò)C點(diǎn),因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-3),那么拋物線的解析式中c=-3,然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b的值;
(2)求QH的長(zhǎng),需知道OQ,OH的長(zhǎng).根據(jù)CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標(biāo),也就得出了OQ的長(zhǎng),然后求OH的長(zhǎng).
在(1)中可得出拋物線的解析式,那么可求出B的坐標(biāo).在直角三角形BPH中,可根據(jù)BP=5t以及∠CBO的正弦值(可在直角三角形COB中求出).得出BH的長(zhǎng),根據(jù)OB的長(zhǎng)即可求出OH的長(zhǎng).然后OH,OQ的差的絕對(duì)值就是QH的長(zhǎng);
(3)本題要分①當(dāng)H在Q、B之間.②在H在O,Q之間兩種情況進(jìn)行討論;根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角得出的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求出t的值.
解答:解:(1)(0,-3),b=-,c=-3;

(2)由(1),得y=x2-x-3,它與x軸交于A,B兩點(diǎn),得B(4,0).
∴OB=4,
又∵OC=3,
∴BC=5.
由題意,得△BHP∽△BOC,
∵OC:OB:BC=3:4:5,
∴HP:HB:BP=3:4:5,
∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.
∴OH=OB-HB=4-4t.
由y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q,得Q(4t,0).
∴OQ=4t.
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí),QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí),QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.
綜合①,②得QH=|4-8t|;

(3)存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似.
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí),QH=4-8t,
若△QHP∽△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得=,
∴t=
若△PHQ∽△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得=,
即t2+2t-1=0.
∴t1=-1,t2=--1(舍去).
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí),QH=8t-4.
若△QHP∽△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得=,
∴t=
若△PHQ∽△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得=,
即t2-2t+1=0.
∴t1=t2=1(舍去).
綜上所述,存在t的值,t1=-1,t2=,t3=
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn),要注意的是(3)題要分Q的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論,而在每種分類(lèi)情況下又要根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)相似三角形進(jìn)一步分類(lèi)討論,不要漏解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)點(diǎn)Q是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△QOB為等腰三角形,請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).(可直接寫(xiě)出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(2013•衡陽(yáng))如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是x=-1.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),若△PAB∽△OBC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時(shí),y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),且y1>y2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點(diǎn)M、交拋物線于點(diǎn)N,求線段MN的長(zhǎng)度的最大值;
(4)若以拋物線上的點(diǎn)P為圓心作圓與x軸相切時(shí),正好也與y軸相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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