Question

（2013•嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

6

，小球P所經(jīng)過的路程為

6

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為

1

2

，通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度．

解答：解：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為

1

2

，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=

1

6

DA，第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=

1

3

DC，第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=

1

3

BC，第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=

1

6

AD，第六次回到E點(diǎn)，AE=

1

3

AB．
由勾股定理可以得出EF=

5

，F(xiàn)G=

3

2

5

，GH=

1

2

5

，HM=

5

，MN=

3

2

5

，NE=

1

2

5

，
故小球經(jīng)過的路程為：

5

+

3

2

5

+

1

2

5

+

5

+

3

2

5

+

1

2

5

=6

5

，
故答案為：6，6

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運(yùn)用．通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道學(xué)科綜合試題，屬于難題．