Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A為切點，BP與⊙O交于點C，D為AP的中點．
求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連結OC、OD、AC，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，由D為AP的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得DC=DA，則可根據(jù)“SSS”判斷△OAD≌△OCD，則∠OAD=∠OCD；再根據(jù)切線的性質由AP是⊙O的切線得到∠OAD=90°，所以∠OCD=90°，OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CD是⊙O的切線．

解答：證明：連結OC、OD、AC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP為直角三角形，
而D為AP的中點，
∴DC=DA，
在△OAD和△OCD中，

OA=OC OD=OD DA=DC

，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD，
∵AP是⊙O的切線，
∴OA⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和三角形全等的判定與性質．