Question

如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G．

(1)求證：AE·FD＝AF·EC；

(2)求證：FC＝FB；

(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半徑r的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由BD是⊙O的切線得出∠DBA＝90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可； 　　(2)證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF＝DF＝BF即可； 　　(3)求出EF＝FC，求出∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，連接OC，BC，求出∠FCB＝∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理得出(2＋FG)2＝BG×AG＝2BG2， 　　在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2＝FG2－BF2，推出FG2－4FG－12＝0，求出FG即可． 　　解答：(1)證明：∵BD是⊙O的切線， 　　∴∠DBA＝90°， 　　∵CH⊥AB， 　　∴CH∥BD， 　　∴△AEC∽△AFD， 　　∴＝， 　　∴AE·FD＝AF·EC． 　　(2)證明：∵CH∥BD， 　　∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， 　　∴＝＝， 　　∵CE＝EH(E為CH中點(diǎn))， 　　∴BF＝DF， 　　∵AB為⊙O的直徑， 　　∴∠ACB＝∠DCB＝90°， 　　∴CF＝DF＝BF， 　　即CF＝BF． 　　(3)解：∵BF＝CF＝DF(已證)，EF＝BF＝2， 　　∴EF＝FC， 　　∴∠FCE＝∠FEC， 　　∵∠AHE＝∠CHG＝90°， 　　∴∠FAH＋∠AEH＝90°，∠G＋∠GCH＝90°， 　　∵∠AEH＝∠CEF， 　　∴∠G＝∠FAG， 　　∴AF＝FG， 　　∵FB⊥AG， 　　∴AB＝BG， 　　連接OC，BC， 　　∵BF切⊙O于B， 　　∴∠FBC＝∠CAB， 　　∵OC＝OA，CF＝BF， 　　∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC， 　　∴∠FCB＝∠CAB， 　　∵∠ACB＝90°， 　　∴∠ACO＋∠BCO＝90°， 　　∴∠FCB＋∠BCO＝90°， 　　即OC⊥CG， 　　∴CG是⊙O切線， 　　∵GBA是⊙O割線， 　　FB＝FE＝2，由切割線定理得：(2＋FG)2＝BG×AG＝2BG2， 　　在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2， 　　∴FG2－4FG－12＝0， 　　解得：FG＝6，F(xiàn)G＝－2(舍去)， 　　由勾股定理得： 　　AG＝BG＝＝4， 　　∴⊙O的半徑是2． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．

提示：

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．