Question

在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，
（1）請說明DB=DE的理由．
（2）若等邊△ABC的邊長為4cm，求△BDE的面積．

Answer 1

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，即BD為AC邊上的中線，
∴BD是∠ABC的角平分線，∠ABC=60°，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∵∠DCE=120°-60°，且CD=CE，∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠CBD=∠CED，∴DB=DE．

（2）作DF⊥BC，AG⊥BC，
垂足分別為F、G，
∵D為AC中點，∴CE=CD=2cm，
∴BE=2cm+4cm=6cm，
AG=AB=2cm，
∵DF⊥BC，AG⊥BC，
∴DF=AG=cm，
∴△BDE的面積S=BE•DF=×6cm×cm=3cm²．
分析：（1）根據等邊三角形三線合一的性質可得BD是∠ABC的角平分線，即可得∠CBD=30°，根據三角形外角性質即可得∠DCE=120°-60°，根據CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．
（2）過D作DF⊥BC，則DF=AG，根據等邊三角形的性質可以求得BE的長，根據BE、DF的長即可計算△BDE的面積．
點評：本題考查了等邊三角形邊長與高線長的關系，考查了三角形面積的計算，考查了等邊三角形三線合一的性質，本題中正確計算DF的值是解題的關鍵．