Question

我們運(yùn)用圖（I）圖中大正方形的面積可表示為（a+b）²，也可表示為c²+4×ab，即（a+b）²=c²+4×ab由此推導(dǎo)出一個(gè)重要的結(jié)論a²+b²=c²，這個(gè)重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無字證明”．

（1）請(qǐng)你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）．

（2）請(qǐng)你用（Ⅲ）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+y）²=x²+2xy+y²

（3）現(xiàn)有足夠多的邊長為x的小正方形，邊長為y的大正方形以及長為x寬為y的長方形，請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

Answer 1

【考點(diǎn)】勾股定理的證明；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景．

【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積﹣小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；

（2）可以拼成一個(gè)邊長是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長分別是x、y的正方形和兩個(gè)長、寬分別是x、y的長方形組成；

（3）可以拼成一個(gè)長、寬分別是x+y和x+2y的長方形，它由邊長是x的正方形，以及邊長為y的正方形和長寬分別是x和y的矩形進(jìn)而得出答案．

【解答】解：（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：（b﹣a）²；

四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：4×ab；

由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：

c²=（b﹣a）²+4×ab=b²﹣2ab+a²+2ab=a²+b²；

 

（2）如圖1所示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）²，

它的面積也等于兩個(gè)邊長分別為x，y和兩個(gè)長為x寬為y的矩形面積之和，

即x²+2xy+y²

所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

 

（3）如圖2所示：大矩形的長、寬分別為（x+y），（x+2y），則其面積為：（x+y）•（x+2y），

從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個(gè)邊長為x的正方形以及2個(gè)邊長為y的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：

x²+3xy+2y²，

則有：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明，注意熟練掌握通過不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來證明一些公式的方法．