14.已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示,它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
(1)求出b、c的值,并寫(xiě)出此二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,直接寫(xiě)出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)2≤x≤4時(shí),求y的最大值.

分析 (1)因?yàn)辄c(diǎn)(-1,0),(0,3)在拋物線y=-x2+bx+c上,可代入確定b、c的值;
(2)求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)圖象確定y>0時(shí),x的取值范圍;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性,確定2≤x≤4時(shí),y的最大值.

解答 解:(1)把(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c,
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$,
所以二次函數(shù)的解析式為:y=-x2+2x+3
(2)把x=0代入y=-x2+bx+c中,
得-x2+bx+c=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以當(dāng)-1<x<3,y>0;
(3)由y=-x2+2x+3
=-(x-1)2+4,
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,
則當(dāng)2≤x≤4時(shí),y隨著x的增大而減小,
∴當(dāng)x=2時(shí),y的最大值是3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象、極值、與x軸的交點(diǎn)等知識(shí),掌握二次函數(shù)的性質(zhì),通常利用數(shù)形結(jié)合解決此類(lèi)問(wèn)題.

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