如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于點E.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若點E為線段OD的中點,證明:以O(shè)、A、C、E為頂點的四邊形是菱形;
(3)作CF⊥AB于點F,連接AD交CF于點G(如圖2),求FG FC 的值.
(1)(2)見解析(3)
【解析】(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠BCA=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵∠CBD=∠BA,
∴∠ABC+∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD為⊙O的切線;
(2)證明:連CE、OC,BE,如圖,
∵OE=ED,∠OBD=90°,
∴BE=OE=ED,
∴△OBE為等邊三角形,
∴∠BOE=60°,
又∵AC∥OD,
∴∠OAC=60°,
又∵OA=OC,
∴AC=OA=OE,
∴AC∥OE且AC=OE,
∴四邊形OACE是平行四邊形,
而OA=OE,
∴四邊形OACE是菱形;
(3)解:∵CF⊥AB,
∴∠AFC=∠OBD=90°,
而AC∥OD,
∴∠CAF=∠DOB,
∴Rt△AFC∽Rt△OBD,
∴,即
,
又∵FG∥BD,
∴△AFG∽△ABD,
∴,即
,
∴,
∴.
(1)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°,則∠ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根據(jù)切線的判定定理即可得到BD為⊙O的切線;
(2)連CE、OC,BE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BE=OE=ED,則△OBE為等邊三角形,于是∠BOE=60°,又因為AC∥OD,則∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四邊形OACE是平行四邊形,加上OA=OE,即可得到四邊形OACE是菱形;
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而AC∥OD,則∠CAF=∠DOB,根據(jù)相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,則有 ,即
,再由FG∥BD易證得△AFG∽△ABD,則
,即
,然后求FC與FG的比即可一個定值.
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