如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OB=2,AB=1,把△OAB沿OB折疊,使點A落在點C處.
(1)求點C的坐標;
(2)求經過O、B、C的拋物線的解析式;
(3)若點M是(2)中的拋物線上位于點C右側的一動點,連接MC和MO,且MO與AC相交于點N.是否存在這樣的點M,使△CMN與△OAN相似?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)過C作CM⊥Y軸于M,CN⊥X軸于N,根據∠OAB=90°,OB=2,AB=1,求出∠AOB,根據勾股定理求出OA,根據折疊求出OC=OA和∠COM,進一步求出CM和CN的長即可;
(2)因為拋物線過原點,即c=0,設經過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax2+bx,把B、C的坐標代入得到方程組,求出方程組的解即可得到解析式;
(3)①當∠CMO=∠MOA時,△CMN與△OAN相似,此時CM∥OA,得到M的縱坐標和C的縱坐標相等,是,把y=代入拋物線的解析式求出x的值即可求出M的坐標;當∠CMO=∠CAO時,△CMN與△OAN相似,通過已知得到此時M和B重合,能根據B的坐標得出M的坐標.
解答:解:(1)過C作CM⊥Y軸于M,CN⊥X軸于N,
∵∠OAB=90°,OB=2,AB=1,
∴∠AOB=30°,
根據勾股定理得:OA=
∵把△OAB沿OB折疊,使點A落在點C處,
∴∠COB=∠AOB=30°,OC=OA=
∴∠COM=90°-30°-30°=30°,
∴CM=,
根據勾股定理得:OM=,
∴C的坐標是(,),
答:C的坐標是().

(2)∵∠OAB=90°,OB=2,AB=1,
∴A(,0),B(,1),
∵拋物線過原點,即c=0,
∴設經過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax2+bx,
把C(,),B(,1)代入得:
解得:,
∴y=x2+x,
答:經過O、B、C的拋物線的解析式是y=x2+x.

(3)存在,
①當∠CMO=∠MOA時,△CMN與△OAN相似,
∵∠CMO=∠MOA,
∴CM∥OA,
此時M的縱坐標和C的縱坐標相等,是,
把y=代入經過O、B、C的拋物線的解析式是y=x2+x,得:
=x2+x,
解得:x1=,x2=,
∴M(,),
②當∠CMO=∠CAO時,△CMN與△OAN相似,
∵∠COA=30°+30°=60°,OC=OA=,
∴△OAC是等邊三角形,
∴∠CAO=60°,
即:∠CMO=60°,
∴此時M和B重合,
∴M的坐標是(,1),
綜合上述:M的坐標是(,1)或(,),
答:存在這樣的點M,使△CMN與△OAN相似,所有符合條件的點M的坐標是(,1)或().
點評:本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,含30°的直角三角形的性質,勾股定理,相似三角形的判定等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵,題型較好,綜合性強,用的數(shù)學思想是分類討論思想.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在Rt△OAB中,∠OBA=90°,且點B的坐標為(0,4).
(1)寫出點A的坐標;
(2)畫出△OAB繞點O順時針旋轉90°后的△O1A1B1
(3)求出sin∠A1OB1的值.

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如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且點B的坐標為(4,2),將△OAB繞點O逆時針旋轉90°后得△精英家教網OA1B1
(1)在圖中作出△OA1B1并直接寫出A1,B1的坐標;
(2)求點B旋轉到點B1所經過的路線長(結果保留π).

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如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且點B的坐標為(4,3).
(1)在圖中畫出△OAB繞點O逆時針旋轉90°后的△OA1B1;
(2)求點B旋轉到點B1所經過的路線長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在Rt△OAB中,∠OBA=90°,OB=AB=4,將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉90°得到△OA1B1
(1)線段OB1的長是
4
4
,∠A1OB的度數(shù)是
135°
135°

(2)連接BB1,求證:四邊形OBB1A1是平行四邊形;
(3)求四邊形OBB1A1的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•株洲)如圖,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉90°得到△OA1B1
(1)線段OA1的長是
6
6
,∠AOB1的度數(shù)是
135
135
度;
(2)連接AA1,求證:四邊形OAA1B1是平行四邊形;
(3)四邊形OAA1B1的面積.

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