【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)兩點,直線AC:y=﹣ x﹣6交y軸于點C.點E是直線AB上的動點,過點E作EF⊥x軸交AC于點F,交拋物線于點G.
(1)求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式;
(2)連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的坐標;
(3)①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當(dāng)點E運動到什么位置時,以A,E,F(xiàn),H為頂點的四邊形是矩形?求出此時點E,H的坐標;
②在①的前提下,以點E為圓心,EH長為半徑作圓,點M為⊙E上一動點,求 AM+CM它的最小值.
【答案】
(1)
解:∵點A(﹣4,﹣4),B(0,4)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,
∴ ,
∴ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4;
(2)
解:設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點A,B,
∴ ,
∴ ,
∴直線AB的解析式為y=2x+4,
設(shè)E(m,2m+4),
∴G(m,﹣m2﹣2m+4),
∵四邊形GEOB是平行四邊形,
∴EG=OB=4,
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4,
∴m=﹣2,
∴G(﹣2,4);
(3)
解:①如圖1,
由(2)知,直線AB的解析式為y=2x+4,
∴設(shè)E(a,2a+4),
∵直線AC:y=﹣ x﹣6,
∴F(a,﹣ a﹣6),
設(shè)H(0,p),
∵以點A,E,F(xiàn),H為頂點的四邊形是矩形,
∵直線AB的解析式為y=2x+4,直線AC:y=﹣ x﹣6,
∴AB⊥AC,
∴EF為對角線,
∴ (﹣4+0)=
(a+a),
(﹣4+p)=
(2a+4﹣
a﹣6),
∴a=﹣2,P=﹣1,
∴E(﹣2,0).H(0,﹣1);
②如圖2,
由①知,E(﹣2,0),H(0,﹣1),A(﹣4,﹣4),
∴EH= ,AE=2
,
設(shè)AE交⊙E于G,取EG的中點P,
∴PE= ,
連接PC交⊙E于M,連接EM,
∴EM=EH= ,
∴ =
,
∵ =
,
∴ =
,∵∠PEM=∠MEA,
∴△PEM∽△MEA,
∴ ,
∴PM= AM,
∴ AM+CM的最小值=PC,
設(shè)點P(p,2p+4),
∵E(﹣2,0),
∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,
∵PE= ,
∴5(p+2)2= ,
∴p=﹣ 或p=﹣
(由于E(﹣2,0),所以舍去),
∴P(﹣ ,﹣1),
∵C(0,﹣6),
∴PC= =
,
即: AM+CM=
.
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可;(3)①先判斷出要以點A,E,F(xiàn),H為頂點的四邊形是矩形,只有EF為對角線,利用中點坐標公式建立方程即可;②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM= AM,連接CP交圓E于M,再求出點P的坐標即可得出結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6.
(1)實踐操作:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡. ①作∠ABC的角平分線交AC于點D.
②作線段BD的垂直平分線,交AB于點E,交BC于點F,連接DE、DF.
(2)推理計算:四邊形BFDE的面積為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點坐標;
(2)設(shè)點E(x,y)是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時,請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?
②是否存在點E,使平行四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,BC=AC,以BC為直徑的 O與邊AB相交于點D,DE⊥AC,垂足為點E.
(1)求證:點D是AB的中點;
(2)判斷DE與 O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若 O的直徑為3,cosB=
,求DE的長.
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【題目】在數(shù)學(xué)課本上,同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程:
已知:直線l和l外一點P
求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點P.
作法:如圖:⑴在直線l上任取兩點A、B;
⑵分別以點A、B為圓心,AP,BP長為半徑畫弧,兩弧相交于點Q;
⑶作直線PQ.
參考以上材料作圖的方法,解決以下問題:
(1)以上材料作圖的依據(jù)是:
(2)已知,直線l和l外一點P,
求作:⊙P,使它與直線l相切.(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
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【題目】某跳水隊為了解運動員的年齡情況,作了一次年齡調(diào)查,根據(jù)跳水運動員的年齡(單位:歲),繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的跳水運動員人數(shù)為 , 圖①中m的值為;
(2)求統(tǒng)計的這組跳水運動員年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,過點O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F(xiàn)兩點.若AC=2 ,∠AEO=120°,則FC的長度為( )
A.1
B.2
C.
D.
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【題目】如圖①,菱形ABCD中,AB=5cm,動點P從點B出發(fā),沿折線BC﹣CD﹣DA運動到點A停止,動點Q從點A出發(fā),沿線段AB運動到點B停止,它們運動的速度相同,設(shè)點P出發(fā)xs時,△BPQ的面積為ycm2 , 已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示,其中OM,MN為線段,曲線NK為拋物線的一部分,請根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)當(dāng)1<x<2時,△BPQ的面積(填“變”或“不變”);
(2)分別求出線段OM,曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達式;
(3)當(dāng)x為何值時,△BPQ的面積是5cm2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖平行四邊形ABCD中,∠ABD=30°,AB=4,AE⊥BD,CF⊥BD,且,E,F(xiàn)恰好是BD的三等分點,又M、N分別是AB,CD的中點,那么四邊形MENF的面積是 .
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