Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD邊的中點(diǎn)，P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），MN⊥PM交射線BC于N點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求：AP的長(zhǎng)；

（2）如圖2，在點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程中，求證： 為定值；

（3）在射線AB上，是否存在點(diǎn)P，使得∽，若存在，求此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AP的長(zhǎng)為；

（2）證明見解析；

（3）當(dāng)時(shí)， ∽

【解析】試題分析：（1）易證ΔAMP∽ΔDCM，得，從而可得：

（2）過作于，如圖，則，四邊形是矩形， ，可證∽，故可得

（3）分和兩種情況，利用ΔDCN∽ΔPMN求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴

∵

∴

∴∽

∴

∴，

(2)過作于，如圖2. ，四邊形是矩形，

∵，

∴

又∵ ∴∽

∴

(3）設(shè) （），則

所以

設(shè). ∵，

∴

∴

∴

分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如圖：

∵∽

∴∴∴

解得： （不合舍去）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，如圖：

同理：

∴ ，

解得：

所以當(dāng)時(shí)， ∽