Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點，BC⊥x軸，垂足為C．點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）連結AM、BM，設△AMB的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）連結PC，當t為何值時，四邊形PMBC是菱形？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A，B點代入求出即可；
（2）首先求出直線AB的解析式，進而用t表示出P以及M點坐標，再利用S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP求出即可，結合二次函數最值求法得出答案；
（3）利用菱形的判定以及勾股定理和一元二次方程的解法得出t的值，進而得出符合條件的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+c= 5 2

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴拋物線解析式為：y=-

5

4

x2+

17

4

x+1；

（2）∵設點P的橫坐標為t，
∴M點坐標為：（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
則

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
∴直線AB的解析式為：y=

1

2

x+1，
∵P點在直線AB上，點P的橫坐標為t，
∴P點的縱坐標為：

1

2

t+1，
∴MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-

1

2

t-1=-

5

4

t²+

15

4

t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×t+

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×（3-t）
=-

15

8

t²+

45

8

t，
當t=

3

2

時，S最大值=

135

32

；

（3）t=1時，四邊形PMBC為菱形．
理由：∵BC∥PM，當BC=MP時，四邊形MPCB是平行四邊形，
當BC=PC時，平行四邊形PMBC是菱形，
∵B（3，

5

2

），
∴BC=

5

2

，即MP=PC=

5

2

=-

5

4

t²+

15

4

t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC=

( 1 2 t+1)2+(3-t)2

=

5

2

，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同時滿足兩個方程才可以，
故t=1．此時四邊形PMBC為菱形．

點評：此題主要考查了菱形的判定以及待定系數法求二次函數解析式和二次函數最值求法等知識，利用數形結合得出MP=PC時t的值是解題關鍵．