(2012•宜昌一模)如圖,在⊙S中,AB是直徑,AC、BC是弦,D是⊙S外一點(diǎn),且DC與⊙S相切于點(diǎn)C,連接DS,DB,其中DS交BC于E,交⊙S于F,F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn).
(1)求證:DB=DC;
(2)若AB=10,AC=6,P是線段DS上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)DP長為x,四邊形ACDP面積為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②求△PAC周長的最小值,并確定這時(shí)x的值.
分析:(1)根據(jù)垂徑定理的推論得出SF⊥BC,且E為BC的中點(diǎn),利用垂直平分線的性質(zhì)即可即可;
(2)①當(dāng)DP≠AC時(shí),即x≠6時(shí),四邊形ACDP為梯形以及當(dāng)DP=AC時(shí),即x=6時(shí),四邊形ACDP為平行四邊形,分別求出即可;
②首先利用當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),PA+PB最小(短),得出最小值即可,再利用Rt△DCS∽Rt△CES,得出CS2=SE×SD,進(jìn)而求出x的值即可.
解答:解:(1)∵點(diǎn)F為
BC
的中點(diǎn),SF為⊙S的半徑,
∴SF⊥BC,且E為BC的中點(diǎn),
∴DS是BC的中垂線,
∴DB=DC.

(2)①∵AB為⊙S的直徑,
∴AC⊥BC,
∴DS∥AC,且BC=
AB2-AC2
=
102-62
=8
,CE=
1
2
BC=4,
當(dāng)DP≠AC時(shí),即x≠6時(shí),四邊形ACDP為梯形,
此時(shí),y=
1
2
(DP+AC)•CE=2(x+6)=2x+12
;
當(dāng)DP=AC時(shí),即x=6時(shí),四邊形ACDP為平行四邊形,
此時(shí),y=AC•CE=24.
②∵DS是BC的中垂線,∴PC=PB,
∵△PAC的周長=AC+PA+PC=6+PA+PC=6+PA+PB,
當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),PA+PB最小(短),
即點(diǎn)P與點(diǎn)S重合時(shí),△PAC的周長最小,最小值=6+10=16,
此時(shí)x=DS,連接CS,
∵DC與⊙S相切于點(diǎn)C,∴DC⊥OC,
∴SE=
CS2-CE2
=
52-42
=3
,
∵Rt△DCS∽Rt△CES,
∴CS2=SE×SD,
∴DS=
CS2
SE
=
52
3
=
25
3
,
∴當(dāng)x=
25
3
時(shí),△PAC的周長最小,最小值=6+10=16.
點(diǎn)評:此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識,利用相似三角形的判定得出Rt△DCS∽Rt△CES是解題關(guān)鍵.
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(2)求在這次隨機(jī)調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生;
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