Question

已知：如圖，直線y=2x+b與x軸、y軸分別相交于點E、點B（0，3）．
（1）填空：b=______；
（2）若直線y=-x與直線y=2x+b的交點為A．
①求∠OAB的度數(shù)；
②在直線AB的右側(cè)作菱形ABCD，現(xiàn)有拋物線y=（x-m）²+n的頂點T在直線y=-x上移動，若此拋物線同時與邊AB、AD都相交，試m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線y=2x+b的函數(shù)圖象經(jīng)過點B，將點B的坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可確定b的值．
（2）①首先聯(lián)立這兩條直線的解析式得到點A的坐標(biāo)；進一步能求出線段OA、AB的長，OB的長易知，然后根據(jù)這三邊的長判斷∠OAB的度數(shù)；
②由①知，AB=AD=2OA，那么點O是線段AD的中點，此時發(fā)現(xiàn)點A、D關(guān)于點O對稱，則點D的坐標(biāo)可得；通過觀察圖示不難看出，當(dāng)點T、A重合時，拋物線與線段AB、AD都相交（交于一個公共點A），即m的最小值與點A的橫坐標(biāo)相同，因此只需判斷m的最大值即可；此時需要分兩步考慮：
Ⅰ、當(dāng)拋物線的對稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過點B時，先求出m的值，即可確定拋物線的解析式，然后再判斷拋物線的圖象是否與線段AD相交，若相交，那么此時的m值即為最大值，若不想交，再考慮下一步；
Ⅱ、當(dāng)拋物線的對稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過點D時，方法同上．
解答：解：（1）由題意知，直線y=2x+b經(jīng)過點B（0，3），則有：
2×0+b=3，b=3；
故填：3．

（2）①聯(lián)立y=-x與y=2x+3，得：
，
解得
則點A（-，）；
則：OA²=（-）²+（）²=，AB²=（-）²+（3-）²=，OB²=3²=9；
則OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°．
②依題意，點T（m，n）在直線y=-x上，那么 n=-m，即拋物線的解析式：y=（x-m）²-m，點T（m，-m）；
在Rt△OBE中，OE=，OB=3，∴tan∠OBE=，AB=2OA；
由于四邊形ABCD是菱形，那么AD=AB=2OA，即點O是線段AD的中點，則點D（，-）．
Ⅰ、當(dāng)點T、A重合時，拋物線同時經(jīng)過線段AB、AD，此時m=-；
Ⅱ、當(dāng)拋物線的對稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過點B時，有：
（0-m）²-m=3，解得：m₁=2、m₂=-（舍）；
故拋物線：y=（x-2）²-1；
當(dāng)x=時，y=（-2）²-1=-＞-，
所以拋物線只與線段AB相交，不與線段AD相交，不合題意；
Ⅲ、當(dāng)拋物線的對稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過點D時，由Ⅱ知，拋物線的圖象與線段AB、AD都相交；
將點（，-）代入y=（x-m）²-m中，有：
（-m）²-m=-，解得：m₁=，m₂=（舍）；
綜上，m的取值范圍：-≤m≤．
點評：此題的難點在于最后一題，解題的關(guān)鍵是判斷m取最大、最小值時，拋物線的圖象經(jīng)過了哪些點；在求m的最大取值時，容易出現(xiàn)錯誤，有些同學(xué)很可能將點D的橫坐標(biāo)直接視為m的最大值，但忽視了拋物線對稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過點D時的情況，這就需要通過圖示作出正確的判斷．