Question

【題目】如圖:已知△ABC是等邊三角形,D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點,M是直線BC上的任意一點,在射線EF上截取EN,使EN=FM,連接DM、MN、DN.

(1)如圖①,當點M在點B左側(cè)時,請你按已知要求補全圖形,并判斷△DMN是怎樣的特殊三角形(不要求證明);

(2)請借助圖②解答:當點M在線段BF上(與點B、F不重合),其它條件不變時,(1)中的結(jié)論是否依然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

(3)請借助圖③解答:當點M在射線FC上(與點F不重合),其它條件不變時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?畫出圖形，不要求證明.

Answer 1

【答案】（1）△DMN是等邊三角形；（2）△DMN仍是等邊三角形；（3）△DMN不是等邊三角形．

【解析】

（1）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=120°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MD=DN，對應角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；

（2）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=60°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MD=DN，對應角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；（3）沿用前兩問的思路，顯然不能證明△CDM與△FDN全等，所以△DMN不是等邊三角形．

（1）如圖①，△DMN是等邊三角形．

（2）如圖②，當M在線段BF上（與點B、F不重合）時，△DMN仍是等邊三角形

證明：連接DF，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．

∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點，∴DF=BD=EF=BF

∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，∴∠ABC=∠DFE，

∵FM=EN，∴BM=NF，∴△BDM≌△FDN，

∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，

∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，

△DMN是等邊三角形；

（3）如圖③或圖④，當點M在射線FC上（與點F不重合）時，（1）中的結(jié)論不成立，

即△DMN不是等邊三角形．