Question

如圖，拋物線與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．直線過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標(biāo)是

（－2，3）和（－4，）（3）l有最大值，當(dāng)x=－3時，l的最大值是15

【解析】解：（1）∵經(jīng)過點A（2，0）和B（0，）

∴，解得。

∴拋物線的解析式是。

∵直線經(jīng)過點A（2，0），∴，解得：。

∴直線的解析式是。

（2）存在。

設(shè)P的坐標(biāo)是（x，），則M的坐標(biāo)是（x，），

∴。

解方程得：或。

∵點D在第三象限，∴點D的坐標(biāo)是（﹣8，）。

由令x=0得點C的坐標(biāo)是（0，）。

∴。

∵PM∥y軸，∴要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即。

整理得，解這個方程得：x₁=－2，x₂=－4，符合﹣8＜x＜2。

當(dāng)x=－2時，；

當(dāng)x=－4時，。

∴直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標(biāo)是

（－2，3）和（－4，）。

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10。

∴△CDE的周長是24。

∵PM∥y軸，∵∠PMN=∠DCE。

∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE。

∴，即。

化簡整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：。

∵＜0，∴l(xiāng)有最大值，當(dāng)x=－3時，l的最大值是15。

（1）將A，B兩點坐標(biāo)分別代入求出二次函數(shù)解析式；將A點坐標(biāo)代入求出直線解析式。

（2）首先假設(shè)出P，M點的坐標(biāo)，進而得出PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點坐標(biāo)，進而得出CE的長，利用平行四邊形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可。

（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可。