Question

已知四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別以O(shè)A、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)△OPA是等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使OE+DE取得最小值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）易得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把這兩點(diǎn)代入可得所求函數(shù)解析式；
（2）分別以點(diǎn)O或點(diǎn)A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫弧，可得3個(gè)可能的點(diǎn)P，作出OA的垂直平分線可得第4個(gè)點(diǎn)P；
（3）易得點(diǎn)O與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，那么連接BD，與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，得到DB的解析式與l的解析式聯(lián)立可得E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0），經(jīng)過(guò)A（4，0）和C（0，4）得

0=4k+b 4=b

，
解之得

k=-1 b=4

，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃ (4-2

2

，2

2

)、P₄(4+2

2

，-2

2

)；

（3）∵O與B關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴連接DB，交AC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，此時(shí)OE+DE取得最小值，
設(shè)DB所在直線為y=k₁x+b₁ （k₁≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，2）、B（4，4）

4=4k1+b1 2=b1

，
解得 

k1= 1 2 b1=2

∴直線DB為y=

1

2

x+2，
解方程組：

y=-x+4 y= 1 2 x+2

，得

x= 4 3 y= 8 3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(

4

3

，

8

3

)．

點(diǎn)評(píng)：考查一次函數(shù)的應(yīng)用；在本題中應(yīng)注意可能為等腰三角形的不同情況；在求平面圖形中的最短距離和時(shí)，應(yīng)找到特殊點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．