Question

已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對稱軸與BC相交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；
（3）點(diǎn)E是該拋物線上一動點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長EN交y軸于點(diǎn)F，E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對稱嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，頂點(diǎn)M（，）．
證明見解析
（3）E（1，2），
（4）對稱；理由見解析

試題分析：（1）由待定系數(shù)法可求得解析式，然后轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
有兩組對應(yīng)邊對應(yīng)成比例且夾角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性質(zhì)即可求得．
作EF⊥BC于F，根據(jù)拋物線的解析式先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得．
（4）延長EF交y軸于Q，根據(jù)勾股定理求得FQ的長，再與EF比較即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得．
∴拋物線為y=﹣x²+x+2；
∴拋物線為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，
∴頂點(diǎn)M（，）．
如圖1，

∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），
∴直線BC為：y=﹣x+2，
當(dāng)x=時，y=，
∴N（，），
∴AB=3，BC=2，OB=2，BN=，
∴，，
∵∠ABC=∠NBO，
∴△ABC∽△NBO，
∴∠NOB=∠ACB；
（3）如圖2，作EF⊥BC于F，
∵直線BC為y=﹣x+2，
∴設(shè)E（m，﹣m²+m+2），直線EF的解析式為y=x+b，
則直線EF為y=x+（﹣m²+2），
解 得，
∴F（m²，﹣m²+2），
∵EF=，
∴（m﹣m²）²+（﹣m²+2+m²﹣m﹣2）²=（）²，
解得m=1，
∴﹣m²+m+2=2，
∴E（1，2），

（4）如圖2，延長EF交y軸于Q，
∵m=1，
∴直線EF為y=x+1，
∴Q（0，1），
∵F（，），
∴FQ=，
∵EF=，EF⊥BC，
∴E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對稱．