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(2005•濱州)如圖,AC是⊙O的直徑,BC切⊙O于點C,AB交⊙O于點D,連接DO,并延長交BC的延長線于點E.過D作⊙O的切線交BC于點F.
(Ⅰ)求證:F是BC的中點;
(Ⅱ)若BC=2,且S△DBF:S△DCE=3:2,求AD:DB的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)圓周角定理,得出CD⊥AC;根據(jù)切線長定理求得FD=FC,即∠FDC=∠FCD,由于等角的余角相等,可得出∠FDB=∠B,由此可證得FD=FB=FC;
(2)由于△DBF與△DCE等高,因此它們的面積比等于底邊比,即BF:CE=3:2;由此可求得BF、FC、CE的長;由切割線定理,得:EH2=EH•ED,根據(jù)勾股定理可在Rt△FED中求得ED的長,由此可求出ED、DH的長,也就求出了AC的長,進而可求出AB的長;根據(jù)切割線定理即可求出BD、AD的長,由此得解.
解答:(Ⅰ)證明:∵AC為⊙O的直徑,
∠BDC=∠ADC=90°.
∵FD、FC是⊙O的切線,
∴FD=FC.
∴∠FDC=∠FCD.
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°,
∴∠FDB=∠B.
∴FD=FB,
∴FB=FC.
∴F是BC中點.

(Ⅱ)解:∵S△DBF:S△DCE=3:2,
又∵△DBF邊BF上的高與△DCE邊CE上的高相等,
∴BF:CE=3:2.
又BC=2,F(xiàn)是BC中點,
∴BF=FC=1,∴CE=
方法一:在Rt△DFE中,
∵DF=1,EF=1+=,
∴DE=,
設(shè)DE交⊙O于H,則
CE2=EH•ED,
∴(2=EH;
∴EH=;
∴DH=-=1;
∴AC=1.
在Rt△ABC中,
AB=
∵BC切⊙O于C,∴BD•AB=BC2=4;
∴BD=AD=;


方法二:設(shè)=k,則可設(shè)AD=km,DB=m,
∴AB=(k+1)m,
∵BC2=BD•BA,
∴(k+1)m2=4,
∴m=
∴AC=,
∴OC=
設(shè)DE交⊙O于H,EH=x,
由切割線定理,得
EC2=EH•ED,
=x•(x+2).
∵∠OCE=∠EDF=90°,∠E=∠E,
∴Rt△OCE∽Rt△FDE.
,即=,x=;
代入(*)式,得
,∴
故AD:DB=1:4.
點評:本題考查的是切割線定理,切線的性質(zhì)定理,勾股定理.
練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.π
D.2π

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A.k1<k2<k3<k4
B.k2<k1<k4<k3
C.k1<k2<k4<k3
D.k2<k1<k3<k4

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A.S1>S2
B.S1<S2
C.S1=S2
D.不確定

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A.k1<k2<k3<k4
B.k2<k1<k4<k3
C.k1<k2<k4<k3
D.k2<k1<k3<k4

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