Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點(diǎn)，AE⊥BF于點(diǎn)G，且BE＝1．

(1)求證：△ABE≌△BCF；

(2)求出△ABE和△BCF重疊部分(即△BEG)的面積；

(3)現(xiàn)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△(如圖2)，使點(diǎn)E落在CD邊上的點(diǎn)處，問△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE＝∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF； 　　(2)由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長(zhǎng)，由在△BGE與△ABE中，∠GBE＝∠BAE，∠EGB＝∠EBA＝90°，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案； 　　(3)首先由正切函數(shù)，求得∠BAE＝30°，易證得Rt△ABE≌Rt△≌Rt△，可得與AE在同一直線上，即BF與的交點(diǎn)是G，然后設(shè)BF與AE′的交點(diǎn)為H，可證得△BAG≌△HAG，繼而證得結(jié)論． 　　解答： 　　(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC， 　　∴∠ABF＋∠CBF＝90°， 　　∵AE⊥BF， 　　∴∠ABF＋∠BAE＝90°， 　　∴∠BAE＝∠CBF， 　　在△ABE和△BCF中， 　　 　　∴△ABE≌△BCF．(4分) 　　(2)解：∵正方形面積為3， 　　∴AB＝，(5分) 　　在△BGE與△ABE中， 　　∵∠GBE＝∠BAE，∠EGB＝∠EBA＝90°， 　　∴△BGE∽△ABE，(7分) 　　∴， 　　又∵BE＝1， 　　∴AE2＝AB2＋BE2＝3＋1＝4， 　　∴S△BGE＝×S△ABE＝＝．(8分) 　　(3)解：沒有變化．(9分) 　　理由：∵AB＝，BE＝1， 　　∴tan∠BAE＝＝，∠BAE＝30°，(10分) 　　∵＝AD，∠AB′E′＝∠ADE'＝90°，公共， 　　∴Rt△ABE≌Rt△≌Rt△， 　　∴∠＝∠＝∠BAE＝30°， 　　∴與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點(diǎn)是G， 　　設(shè)BF與的交點(diǎn)為H， 　　則∠BAG＝∠HAG＝30°，而∠AGB＝∠AGH＝90°，AG公共， 　　∴△BAG≌△HAG，(11分) 　　∴S四邊形＝S△－S△AGH＝S△ABE－S△ABG＝S△BGE． 　　∴△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化．(12分) 　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形．