如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
關(guān)于
軸的對稱點(diǎn)為
,
與
軸交于點(diǎn)
,將△
沿
翻折后,點(diǎn)
落在點(diǎn)
處.
(1)求點(diǎn)、
的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過、
、
三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)
,點(diǎn)
為線段
上一點(diǎn),過點(diǎn)
作
軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)
.
①當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí),求出點(diǎn)
的坐標(biāo);
②當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí),直接寫出點(diǎn)
的坐標(biāo).
解:(1)如圖所示,∵點(diǎn)關(guān)于
軸的對稱點(diǎn)為
,
與
軸交于點(diǎn)
,
∴
⊥
軸于
,
,
.…………………………1分
∴.
∴,
由題意可知 ,
.
∴.
過點(diǎn)作
軸于
,
軸于
,
在中,
,
.
由矩形得
.
∵點(diǎn)在第四象限∴
.……………………………2分
(2)設(shè)經(jīng)過、
、
三點(diǎn)的拋物線的解析式為
.
依題意得 ………………………3分
解得 ∴此拋物線的解析式為
.………………………4分
(3)∵,
∴點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).
∴直線為拋物線的對稱軸,交
于
,
由題意可知 ,
,
∴,
∴,
∴,
∴是等邊三角形,
.
∴.
①當(dāng)點(diǎn)在
上時(shí),四邊形
為等腰梯形.
∵∥
∥
,
與
不平行,∴四邊形
為梯形.
要使梯形為等腰梯形,只需滿足
.
∵,∴點(diǎn)
在
上.
由、
求得直線
的解析式為
.
又∵點(diǎn)在拋物線上,∴
.
解得(與點(diǎn)
重合,舍).∴
點(diǎn)橫坐標(biāo)為
.
由、
求得直線
的解析式為
.
∵點(diǎn)在
上,∴
.∴
.………6分
②當(dāng)點(diǎn)在
上時(shí),四邊形
為平行四邊形,此時(shí)
點(diǎn)坐標(biāo)為
. ……………………8分
綜上所述,當(dāng)時(shí),
為等腰梯形;當(dāng)
時(shí),
為平行四邊形
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