Question

已知：如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：AD＝BD；

(2)求證：DF是⊙O的切線；

(3)若⊙O的半徑為3，sin∠F＝，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)如圖，連結(jié)CD，…………………………1分 　　∵BC是直徑， 　　∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB．…………………………2分 　　∵AC＝BC， 　　∴AD＝BD．…………………………………………………3分 　　(2)連結(jié)OD，…………………………………………4分 　　∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BDC＝90°，∴∠ADE＝∠DCO． 　　∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO． 　　∴∠CDO＝∠ADE． 　　由(1)得∠ADE＋∠CDE＝90°， 　　∴∠CDO＋∠CDE＝90°，…………………………………5分 　　即∠ODF＝90°． 　　∴DF是⊙O的切線．………………………………………6分 　　(3)在Rt△DOF中， 　　∵sin∠F＝， 　　∴OF＝5．……………………………………………………7分 　　∵OC＝3， 　　∴CF＝5－3＝2． 　　由(2)得∠DEA＝∠ODF＝90°，∴OD∥AC． 　　∴△CEF∽△ODF．………………………………………9分 　　∴，………………………………………10分 　　即 　　∴DE＝．………………………………………11分