Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0。
（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y= mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）在直角坐標(biāo)系xoy中，畫(huà)出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問(wèn)題：當(dāng)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）分兩種情況討論： ①當(dāng)m=0 時(shí)，方程為x-2=0， ∴x=2 方程有實(shí)數(shù)根； ②當(dāng)m≠0時(shí)，則一元二次方程的根的判別式 △=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0 不論m為何實(shí)數(shù)，△≥0成立， ∴方程恒有實(shí)數(shù)根綜合①②，可知m取任何實(shí)數(shù)，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x1，x2為拋物線y= mx2-（3m-1）x+2m-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 則有x1+x2=，x1·x2= 由| x1-x2|====， 由| x1-x2|=2得=2， ∴=2或=-2 ∴m=1或m= ∴所求拋物線的解析式為：y1=x2-2x或y2=-x2+2x- 即y1= x（x-2）或y2=-（x-2）（x-4） 其圖象如右圖所示；
（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y1，y2組成的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，求b的取值范圍， 當(dāng)y1=y時(shí)，得x2-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-； 同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-， 觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<-或b>-時(shí)，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)， 由 當(dāng)y1=y2時(shí)，有x=2或x=1 當(dāng)x=1時(shí)，y=-1， 所以過(guò)兩拋物線交點(diǎn)（1，-1），（2，0）的直線y=x-2， 綜上所述可知：當(dāng)b<-或b>-或b=-2時(shí)，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)。