Question

我們所學的幾何知識可以理解為對“構圖”的研究：根據給定的(或構造的)幾何圖形提出相關的概念和問題(或者根據問題構造圖形)，并加以研究．

例如：在平面上根據兩條直線的各種構圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質”等問題(包括研究的思想和方法)．

請你用上面的思想和方法對下面關于圓的問題進行研究：

(1)如圖，在⊙O所在的平面上，放置一條直線m(m和⊙O分別交于點A、B)，根據這個圖形可以提出的概念或問題有哪些(直接寫出兩個即可)？

(2)如圖，在⊙O所在的平面上，請你放置與⊙O都相交且不同時經過圓心的兩條直線m和n(m與⊙O分別交于點A、B，n與⊙O分別交于點C、D)．請你根據所構造的圖形提出一個結論，并證明．

(3)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點，弦DE⊥AB于點F．請找出點C和點E重合的條件，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由問題(1)圖提出圓中的有關概念；(2)從兩條直線的不同位置關系來思考；(3)假設點C和點E重合，利用這個條件來探索． 　　解：(1)弦(圖中線段AB)、弧(圖中的、)等． 　　(2)情形1：如圖，AB為弦，CD為垂直于弦AB的直徑． 　　結論：垂徑定理．證明：略(見課本的證明過程)． 　　情形2：如圖，AB為弦，CD為直徑，且m與n在圓內相交于點P． 　　結論：PA·PB＝PC·PD． 　　提示：連接AD、BC．通過證明△PAD∽△PCB來證得結論(證明略)． 　　情形3：如圖，AB為弦，CD為直徑，且m與n在圓外相交于點P． 　　結論：PA·PB＝PC·PD． 　　證明：同情形2． 　　情形4：如圖，AB為弦，CD為弦，且AB∥CD． 　　結論：＝． 　　提示：連接AD、BC，通過證明四邊形ABCD為矩形來證得結論(證明略)． 　　(3)如圖，若點C和點E重合，則由圓的對稱性知，點C和點D關于直徑AB對稱．設∠BAC＝x，則∠BAD＝x，∠ABC＝90°－x．又D是的中點，所以2∠CAD＝∠CAD＋∠ACD＝180°－∠ADC．因為∠ADC＝∠ABC，所以2·2x＝180°－(90°－x)．解得x＝30°．所以當∠BAC＝30°時，點C和點E重合．