Question

如圖所示，已知點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（2，m）是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)l：y=k（x+1）的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q（1，n），求PQ+QB的最小值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)l上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求△AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知tan∠BAC=3，所以可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，所以可求得m的值，即可求得直線(xiàn)l的解析式，根據(jù)題意可得點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=1上，可知點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，有兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短可知直線(xiàn)AP與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q；求得AP的值即可；
（3）可首先求得△APM的最大值，利用圖形面積的拼湊方法即可求得，再根據(jù)面積公式求得h的最大值即可．

解答：解：（1）∵tan∠BAC=3，
∴

OC

OA

=

OC

1

=3，
∴OC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴t=3，
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵點(diǎn)P（2，m）在拋物線(xiàn)上，
∴m=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
∴3=3k，
∴k=1，
∴直線(xiàn)l的解析式為y=x+1，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 2k+b=3

，
∴

k=1 b=1

，
∴直線(xiàn)AP的解析式為y=x+1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2），
∴PQ+QB=PA=

(2+1)2+(3-0)2

=3

2

；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥x軸于點(diǎn)K，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
∴S_△APM=S_△AKM+S_梯形PNKM-S_△PNA，
=

1

2

（1+x）（-x²+2x+3）+

1

2

（-x²+2x+3+3）（2-x）-

1

2

×3×3，
=-

3

2

（x²-x-2），
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴△APM的最大值為

27

8

，
∵AP的長(zhǎng)度不變，
∴△AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值為

9 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意待定系數(shù)法球函數(shù)的解析式，還要注意利用二次函數(shù)求最大值，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．