Question

【題目】如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90,BC=6，AC=8.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MD∥AC,交AB于點(diǎn)D,連接MN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADMN為平行四邊形？

(2)是否存在t的值，使四邊形ADMN為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.并探究只改變點(diǎn)N的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形ADMN在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)N的速度；

(3)如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線(xiàn)段MN中點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為秒時(shí)，四邊形ADMN為平行四邊形；（2）；（3）.

【解析】(1)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出MD=AN，然后根據(jù)△BMD和△BAC相似得出MD=,BD=，最后根據(jù)MD=AN=8-2t得出答案；(2)、根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=MD=，從而得出t的值；(3)、首先得出點(diǎn)P所運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線(xiàn)段，然后根據(jù)勾股定理得出答案．

(1)、∵MD∥AC， ∴當(dāng)MD=AN時(shí)，四邊形ADMN為平行四邊形，

∵MD∥AC，∴△BMD∽△BAC， ∴.∴. ∴MD=,BD=，

∵AN=8-2t，∴=8-2t， 解得：t=， ∴當(dāng)t為秒時(shí)，四邊形ADMN為平行四邊形；

(2)、∵四邊形ADMN是菱形， ∴四邊形ADMN必為平行四邊形，

而當(dāng)t=秒時(shí)，AD=10-=6，AN=8-=， ∴AD≠AN

∴四邊形ADMN不可能為菱形， 當(dāng)四邊形ADMN是菱形時(shí)，AD=MD=，

∴，∴， ∴AN=AD==， ∴CN=8-=，

∴點(diǎn)N的速度為=；

(3)、∵點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在AC上運(yùn)動(dòng)，

∴線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線(xiàn)段， ∵當(dāng)M在點(diǎn)B時(shí)，N在點(diǎn)C，

∴此時(shí)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，CP=3， ∵當(dāng)N到點(diǎn)A時(shí)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的距離BM=4，

∴CM=2， 作P'E⊥BC垂足為E，∴CE=1，∴EP=2，

此時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離P'E=4， 點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為PP'=．