Question

如圖，已知AD為⊙O的直徑，B為AD延長線上一點，BC與⊙O切于C點，∠A=30°．

求證：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．

Answer 1

證明見解析

證明：（1）∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°。
又∵∠A=30°，OA=OC=OD，∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°。
又∵BC與⊙O切于C，∴∠OCB=90°，∴∠BCD=30°�！唷螧=30°。
∴∠BCD=∠B。∴BD=CD。
（2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，∴AC=BC。
在△AOC和△BDC中，∵∠A =∠B，AC=BC，∠ACO=∠BCD，
∴△AOC≌△BDC（ASA）。
（1）由AD為⊙O的直徑，根據直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等邊對等角與三角形外角的性質，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC與⊙O切于C點，根據切線的性質，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角對等邊，即可證得BD=CD。
（2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，即可得AC=BC，然后由ASA，即可證得△AOC≌△CDB。