Question

如圖1，直線L：y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線G：y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．
（1）該拋物線G的解析式為______；
（2）將直線L沿y軸向下平移______個單位長度，能使它與拋物線G只有一個公共點；
（3）若點E在拋物線G的對稱軸上，點F在該拋物線上，且以點A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點E與點F坐標并直接寫出平行四邊形的周長．
（4）連接AC，得△ABC．若點Q在x軸上，且以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出點B、C的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法列式求解即可得到拋物線G的解析式；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，設(shè)平移后的直線的解析式為y=-x+b，與拋物線的解析式聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)△=0時，有一個交點列式求出b的值，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答；
（3）因為AB是邊長還是對角線不明確，所以分①AB是邊長時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等得到EF=AB=2，從而得到點F的橫坐標，代入拋物線解析式求出縱坐標的值，從而得到點E、F的坐標；②AB是對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得EF⊥AB時，滿足條件，從而求出點E、F的坐標；
（4）根據(jù)點A、B、C、P的坐標可知，∠PBQ=∠ABC=45°，并求出AB、BC、PB的長度，然后分①PB與AB是對應邊，②PB與BC是對應邊時兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BQ的長度，從而點Q的坐標可得，③點Q在點B的右側(cè)時，∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135，不存在以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似．
解答：解：（1）當x=0時，y=3，
當y=0時，-x+3=0，解得x=3，
∴點B、C的坐標為B（3，0），C（0，3），
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，
根據(jù)拋物線的對稱性，
∴點A的坐標為（1，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）設(shè)平移后的直線解析式為y=-x+b，
則，
∴x²-3x+3-b=0，
∵它與拋物線G只有一個公共點，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=，
3-=，
∴向下平移了個單位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①當AB是邊時，∵點E在對稱軸上，平行四邊形的對邊平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴點F的橫坐標為0或4，
當橫坐標為0時，y=0²-4×0+3=3，
當橫坐標為4時，y=4²-4×4+3=3，
∴點F的坐標為F₁（0，3）或F₂（4，3），
此時點E的坐標為E₁（2，3），
此時AE==，
∴平行四邊形的周長為：2（AB+AE）=2（2+）=4+2；
②當AB邊為對角線時，EF與AB互相垂直平分，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此時點E、F的坐標為E₂（2，1），F(xiàn)₃（2，-1），
∴AE==，
AF==，
∴平行四邊形的周長為：2（AE+AF）=2（+）=4，
綜上所述，點E、F的坐標分別為E₁（2，3），F(xiàn)₁（0，3）或F₂（4，3），此時平行四邊形的周長為4+2，
或E₂（2，1），F(xiàn)₃（2，-1），此時平行四邊形的周長為4；

（4）連接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=．
由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3．
假設(shè)在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
①PB與AB是對應邊時，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴=，
即=，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴點Q與點O重合，
∴Q₁的坐標是（0，0），
②PB與BC是對應邊時，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴=，
即=，
解得QB=，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-=，
∴Q₂的坐標是（，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點Q₁（0，0），Q₂（，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，注意要分情況討論求解．