如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,CD切⊙O于點(diǎn)C,交AB的延長線于點(diǎn)D,∠ACD=120º,BD=10.
(1)求證:CA=CD;(2)求⊙O的半徑.
(1)證明見解析(2)10
【解析】(1)證明:連接OC.
∵DC切⊙O于點(diǎn)C,
∴∠OCD=90°.
又∵∠ACD=120°,
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°.
∵OC=OA,
∴∠A=∠ACO=30°,
∴∠COD=60°.
∴∠D=30°,
∴CA=DC.
(2)解:∵sin∠D=,
sin∠D=sin30°=,
∴.
解得OB=10.
即⊙O的半徑為10.
(1)可通過證明角相等來證邊相等.連接OC,則OC⊥CD,那么∠ACO=30°;根據(jù)等邊對等角我們不難得出∠A=30°,∠COD=60°,直角三角形OCD中,∠COD=60°,因此∠A=∠D=30°,由此便可得出CA=CD.
(2)在直角三角形OCD中,可用半徑表示出OC,OD,有∠D的度數(shù),可用正弦函數(shù)求出半徑的長.
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