Question

有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5．把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）若BE=，試畫出折痕MN的位置，并求這時AM的長；
（2）點E在BC上運動時，設BE=x，AN=y，試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）連接DE，是否存在這樣的點E，使得△AME與△DNE相似？若存在，請求出這時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后線段相等，即AM=ME，再由勾股定理求得AM=．
（2）仿（1）可求AM=．又根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證△AMN∽△BEA，得=，推出，定義域為：．
（3）可用分析法：若△AME與△DNE相似，可推出DN=NE=NA=，進而取得BE=1．
解答：解：（1）畫出正確的圖形．（折痕MN必須與AB、AD相交）
設AM=t，則ME=t，MB=2-t，由BM²+BE²=ME²，得t=，即AM=．


（2）如上圖（a），仿（1）得，AM=．
由△AMN∽△BEA，得=，推出，
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
x的取值范圍為：．

（3）如上圖（b），若△AME與△DNE相似，不難得∠DNE=∠AME．
又因為AM=ME，所以DN=NE=NA=，所以，
解得：x=1或x=4．
又∵，故x=1．
或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，
推出△ABE∽△ECD，
從而得BE=1．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后線段相等．以及相似三角形的判定和勾股定理的運用，是一道綜合性較強的題．