Question

如圖所示，正△ABC內接于⊙O，P足劣弧上任意一點，PA與BC交于點E，有如下結論：①PA＝PB＋PC；②＝＋③PA·PE＝PB·PC．其中，正確結論的個數為

[　　]

A．3個

B．2個

C．1個

D．0個

Answer 1

答案：B
解析：

解題指導：①如圖所示，延長BP至D，使PD＝PC，連結CD． 　　因為△ABC是正三角形，所以∠BAC＝，所以劣弧＝，所以優(yōu)弧＝，所以圓周角∠BPC＝，所以∠CPD＝．因為PD＝PC，所以△PCD是正三角形，所以DC＝PC，∠DCP＝，所以∠BCD＝∠BCP＋∠DCP＝∠BCP＋，又因為∠ACP＝∠BCP＋∠ACB＝∠BCP＋，所以在△BCD和△ACP中所以△BCD≌△ACP．所以PA＝BD＝PB＋PD＝PB＋PC．所以CD＝CP．已知式子是正確的． 　�、趯⒁阎�＝＋變形成為＝，由①知，PA＝PB＋PC，那么已知式子變?yōu)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30A2/0029/0459/f78486e1761b8f71df3eb3f0204d79ef/C/Image307.gif" width=28 height=41>＝，即＝，但PA＞PB，PC＜PA，所以它們的比值不可能相同，故已知式子不正確． 　�、垡驗椤螾AC與∠PBC是同弧所對的圓周角，所以∠PAC＝∠PBC，又因為△ABC是正三角形，所以AB＝AC，由相等的弦所對的弧相等知＝，所以這兩條弧所對的圓周角相等，即∠APC＝∠APB，所以△EPC∽△BPA，所以＝，即PA·PE＝PB·PC．所以已知式子是正確的．