Question

如圖，已知?ABCD，∠A=45°，AD=4，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點B，則圖中陰影部分的面積為

1. A.
   4
2. B.
   π+2
3. C.
   4
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：連接BD及OB，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到角ABD為直角，又角A為45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，因為O為AB中點，根據(jù)三線合一得到BO垂直于AD，又根據(jù)BO為斜邊上的中線，等于斜邊AD的一半，即可求出BO，根據(jù)扇形OAB與扇形OBD的圓心角及半徑相等，得到兩扇形面積相等，又三角形AOB與三角形BOD全等得到兩三角形面積相等，用扇形減去三角形即可得到弓形AB與弓形BD的面積相等，則陰影部分面積可轉(zhuǎn)化為三角形BDC的面積，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到BC與AD相等都等于4，然后根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2即可求出所求陰影部分的面積．
解答：解：連接BD，OB，
∵AD為圓O的直角，
∴∠ABD=90°又∠A=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，又O為AD的中點，
∴BO⊥AD，且BO=AD=2，AB=BD，
∵扇形AOB與扇形OBD的圓心角都為90°，半徑都為2，
得到S_扇形AOB=S_扇形OBD，又S_△AOB=S_△DOB
∴S_弓形AB=S_弓形BD，
由ABCD為平行四邊形，得到AD=BC，
則S_陰影=S_△BCD=BC•BO=AD•OB=×4×2=4．
故選C．
點評：此題考查學生會利用轉(zhuǎn)化的思想把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，同時要求學生掌握平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)，是一道中檔題．