Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-x-與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=ax²-x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
（1）求過(guò)A，B，C三點(diǎn)拋物線(xiàn)的解析式并求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試探究在直線(xiàn)AC上是否存在一點(diǎn)M，使得△MBF的周長(zhǎng)最小？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線(xiàn)解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)a，c，根據(jù)直線(xiàn)AC解析式求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式即可；
（2）分析不難發(fā)現(xiàn)，△ABP的直角頂點(diǎn)只可能是P，根據(jù)已知條件可證AC²+BC²=AB²，故點(diǎn)C滿(mǎn)足題意，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也符合題意；
（3）由于B，F(xiàn)是定點(diǎn)，BF的長(zhǎng)一定，實(shí)際上就是求BM+FM最小，找出點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'F，交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長(zhǎng)BC到B'，使BC=B'C，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)可得B'的坐標(biāo)，從而可求直線(xiàn)B'F的解析式，再與直線(xiàn)AC的解析式聯(lián)立，可求M點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=-x-與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C
∴點(diǎn)A（-1，0），C（0，-）
∵點(diǎn)A，C都在拋物線(xiàn)上，
∴
∴
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x-
∴頂點(diǎn)F（1，-）．

（2）存在：
p₁（0，-），p₂（2，-）．

（3）存在
理由：
解法一：
延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，使B′C=BC，連接B′F交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)，
∵過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥AB于點(diǎn)H，
∵B點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=x²-x-上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，BC=2
在Rt△B′BH中，B′H=BB′=2
BH=B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2）．
設(shè)直線(xiàn)B′F的解析式為y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=．
，
解得，
∴M（）
∴在直線(xiàn)AC上存在點(diǎn)M，使得△MBF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)M（）．
解法二：
過(guò)點(diǎn)F作AC的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接BH交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M
即為所求．
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，則OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=
∴GF為線(xiàn)段CH的垂直平分線(xiàn)，可證得△CFH為等邊三角形
∴AC垂直平分FH
即點(diǎn)H為點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴H（0，-）
設(shè)直線(xiàn)BH的解析式為y=kx+b，由題意得，，
解得，
∴y=，
，
解得，
∴M（），
∴在直線(xiàn)AC上存在點(diǎn)M，使得△MBF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)M（）．
點(diǎn)評(píng)：考查代數(shù)幾何的綜合運(yùn)用能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和不可分割的特點(diǎn)．