Question

證明是無理數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)樽C明一個(gè)實(shí)數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)時(shí)，常常采用反證法．假設(shè)不是無理數(shù)，所以必為有理數(shù)，設(shè)=（p、q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方可得到p²=2q²，再根據(jù)p、q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾即可得出結(jié)論．
解答：證明：用反證法．
假設(shè)不是無理數(shù)，所以必為有理數(shù)，
設(shè)=（p、q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方有，p²=2q²，①，
所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m（m是自然數(shù)），代入①得
4m²=2q²，q²=2m²，
所以q也是偶數(shù)，p、q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾，
所以不是有理數(shù)，所以是無理數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是有理數(shù)與無理數(shù)的概念，解答此類題目時(shí)要注意反證法的使用．