【題目】【問題提出】

如圖①,已知ABC是等腰三角形,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°ACF連接EF

試證明:AB=DB+AF

【類比探究】

(1)如圖②,如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由

(2)如果點(diǎn)E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由.

【答案】證明見解析;(1)AB=BD﹣AF;(2)AF=AB+BD.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△EDBFEA全等的條件BE=AF,再結(jié)合已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠D=∠AEF∠EBD=∠EAF=120°,得出△EDB≌FEA,所以BD=AF,等量代換即可得出結(jié)論.(2)先畫出圖形證明∴△DEB≌△EFA,方法類似于(1);(3)畫出圖形根據(jù)圖形直接寫出結(jié)論即可.

試題解析:(1)證明:DE=CE=CF,△BCE

由旋轉(zhuǎn)60°△ACF,

∴∠ECF=60°BE=AF,CE=CF,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=CE

∴DE=EF,∠CAF=∠BAC=60°,

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°

∵∠DBE=120°,

∴∠EAF=∠DBE

∵A,E,C,F四點(diǎn)共圓,

∴∠AEF=∠ACF,

∵ED=DC,

∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF

∴∠D=∠AEF,

∴△EDB≌FEA

∴BD=AF,AB=AE+BF

∴AB=BD+AF

類比探究(1DE=CE=CF,△BCE由旋轉(zhuǎn)60°△ACF,

∴∠ECF=60°BE=AF,CE=CF

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=CE

∴DE=EF,∠EFC=∠BAC=60°,

∠EFC=∠FGC+∠FCG∠BAC=∠FGC+∠FEA,

∴∠FCG=∠FEA,

∠FCG=∠EAD

∠D=∠EAD,

∴∠D=∠FEA

由旋轉(zhuǎn)知∠CBE=∠CAF=120°,

∴∠DBE=∠FAE=60°

∴△DEB≌△EFA,

∴BD=AE, EB=AF

∴BD=FA+AB

AB=BD-AF

2AF=BD+AB(或AB=AF-BD

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B1的坐標(biāo);

(3)以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為位似中心,相似比為 2,把△A1B1C1 放大為原來的 2 倍,得到△A2B2C2 畫出△A2B2C2,使它與△AB1C1 在位似中心的同側(cè);

請(qǐng)?jiān)?x 軸上求作一點(diǎn) P,使△PBB1 的周長最小,并寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo).

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