Question

如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．
求證：AP=AQ．（初二）

Answer 1

【答案】分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，證明△ADF∽△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圓的內接四邊形對角互補，外角等于內對角，證得∠AOP=∠AOQ，進而得到AP=AQ．
解答：證明：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．
由于，∠FDA=∠ABQ，
∴△ADF∽△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四邊形PFOA與四邊形QGOA四點共圓，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
點評：本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質，以及圓的內接四邊形性質：對角互補，外角等于內對角，解題的關鍵是添加適當?shù)妮o助線構造全等三角形．