Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°．

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為 ；

②若AC⊥BD，求證：AD＝CD；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作直線分別交邊于點(diǎn)，使四邊形是等腰直角四邊形．直接寫出的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②見(jiàn)解析；（2）5或6.5.

【解析】

（1）①根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證得四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證得四邊形ABCD是菱形；根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可證得四邊形ABCD是正方形,從而求出對(duì)角邊即可.

②根據(jù)全等三角形的判定定理可得出三角形全等，然后得出對(duì)應(yīng)邊相等即可.

（2）緊抓等腰直角四邊形的概念，分類討論，先根據(jù)圖形定義可直接得出AE的長(zhǎng)度，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和判定定理可求出AE的長(zhǎng)度.

解：（1）①∵AB＝CD，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴BD=AC==

所以答案為.

②如圖1，連接AC，BD，

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD＝CD.

（2）

因?yàn)樗倪呅蜛BFE是等腰直角四邊形，

所以可以是AB=AE或AB=BF.

當(dāng)AB=AE時(shí)，AE=AB=5,

當(dāng)AB=BF時(shí)，BF=5

∵DE∥BF，

∴△DPE∽△BPF，

∴，

∴DE=2.5

∴AE=9-2.5=6.5

綜上，AE結(jié)果為5或6.5.