Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，對稱軸與拋物線相交于點M，與x軸相交于點N．點P是線段MN上的一動點，過點P作PE⊥CP交x軸于點E．

（1）直接寫出拋物線的頂點M的坐標是 ．

（2）當點E與點O（原點）重合時，求點P的坐標．

（3）點P從M運動到N的過程中，求動點E的運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）M（1，4）；（2）點P的坐標為：（1，）或（1，）；（3）E的運動的路徑長為：．

【解析】

試題分析：（1）將解析式配成頂點式即可．（2）當點E與O重合時，設PN=m，過點C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．（3）找到左右兩個極端位置即可．P在M點時，E在右邊最運處，這個時候求出EN為對稱軸右邊的路徑長度；E點在左側時，設EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y(tǒng)關于x的二次函數，配方求出最大值，再加上右邊路徑長度即為總路徑長度．

試題解析：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4）；

（2）當點E與O重合時，EN=1，設PN=m，

過點C作CF⊥MN，垂足為F，如圖1，

∵∠EPC=90°，

∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，

∴∠CPF=∠PEN，

∴△ENP∽△PFC

∴ ，即：，

解得：m=

∴點P的坐標為：（1，）或（1，）

（3）①當點P與M重合時，如圖2，

由△ENM∽△MFC可知，，

∴EN=4，

即當點P從M運動到F時，點E運動的路徑長EN為4；

②當點P從F運動到N時，點E從點N向左運動到某最遠點后，回到點N結束．如圖3，

設EN=y，PN=x，

由△ENP∽△PFC可知， ，即：，

∴y= ，

當x= 時，y有最大值，為 ；

∴E的運動的路徑長為：．