Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣2，0）

（1）直接寫(xiě)出：a＝　 　

（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，當(dāng)△QAP與△QCD相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M，N為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線NA，NB分別交y軸于D，E兩點(diǎn)，分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于F，G兩點(diǎn)．

①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；

②若，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，）；

（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，4）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A代入拋物線即可．

（2）相似分兩種情況，一種是AP∥CD，根據(jù)兩直線平行k相等，再代入點(diǎn)A就可以求出此時(shí)直線AP的解析式，和拋物線聯(lián)立就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；另一種根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解即可．

（3）①設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示線段長(zhǎng)度，列比值算出數(shù)值即可．②轉(zhuǎn)換題干中的比值，把斜線的比值轉(zhuǎn)換為水平線的比值，表示線段長(zhǎng)度，列式求解即可．

解：（1）將A（﹣2，0）代入拋物線中，得

0＝4a+4a﹣2，解得．

故答案為．

（2）拋物線的解析式為，

令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（4，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)A、C，得：

解得

∴y＝﹣x﹣2，

設(shè)直線BC的解析式為y＝k1 x+b1，代入點(diǎn)點(diǎn)B、C，得：

解得

∴y＝x﹣2，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為，

則點(diǎn)D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），

PQ＝，

DQ＝，

AQ＝，

CQ＝，

①當(dāng)AP∥CD時(shí)，△APQ∽△CDQ，

設(shè)直線AP的解析式為y＝x+b3，

代入點(diǎn)A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，

∴y＝x+1，

令x+1＝x2﹣﹣2，

解得x1＝﹣2，x2＝6，

當(dāng)x＝6時(shí)，y＝4，

∴P（6，4）．

②當(dāng)∠APQ＝∠QCD時(shí)，△APQ∽△DCQ，

∴，

∴＝

解得m1＝﹣2（舍），m2＝，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝，

∴P（，）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，）．

（3）①過(guò)點(diǎn)N作NK垂直x軸于點(diǎn)K，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n2﹣n﹣2），

則NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，

tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，

tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，

∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．

②∵，△NED∽△NGF，

∴，

過(guò)點(diǎn)N向拋物線的對(duì)稱(chēng)軸作垂線，分別交y軸和對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)J、H，

∴△NJE∽△NHG，

∴，

NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，

∴4（1﹣n）＝﹣5n，

解得n＝﹣4，

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝4，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，4）．