Question

已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=-x²+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；

（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

過(guò)P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；

∴OQ=AQ=，PQ=，

所以P（，）；

（2）將P、A代入拋物線的解析式中，得：

，

解得；

即y=-x²+x+1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．

（3）①若DE是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，

∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，

把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）

把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）

∴M（，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，

過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，

∴DE=AN===2，

∵=，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（，0），N（0，-1）；

同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，

∴M（-，0），N（0，1）．