Question

如圖，點P是直線：上的點，過點P的另一條直線交拋物線于A、B兩點．

（1）若直線的解析式為，求A、B兩點的坐標；
（2）①若點P的坐標為（－2，），當PA＝AB時，請直接寫出點A的坐標；
②試證明：對于直線上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立．
（3）設(shè)直線交軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點P的坐標．

Answer 1

（1）A（，），B（1，1）；（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設(shè)P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點B坐標代入拋物線，得，根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷；（3）（，）．

試題分析：（1）由題意聯(lián)立方程組即可求得A、B兩點的坐標；
（2）①根據(jù)函數(shù)圖象上的點的坐標的特征結(jié)合PA＝AB即可求得A點的坐標；
②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設(shè)P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點B坐標代入拋物線，得，根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷；
（3）設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A（，），B（，）．過A、B兩點分別作AG、BH垂直軸于G、H．由△AOB的外心在AB上可得∠AOB＝90°，由△AGO∽△OHB，得，則，聯(lián)立得，依題意得、是方程的兩根，即可求得b的值，設(shè)P（，），過點P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
（1）依題意，得解得， 
∴A（，），B（1，1）；
（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；
②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.
設(shè)P（，），A（，），
∵PA＝PB，
∴△PAG≌△BAH，
∴AG＝AH，PG＝BH，
∴B（，），
將點B坐標代入拋物線，得，
∵△＝
∴無論為何值時，關(guān)于的方程總有兩個不等的實數(shù)解，即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A；
（3）設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A（，），B（，）．
過A、B兩點分別作AG、BH垂直軸于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，
∴∠AOB＝90°，
由△AGO∽△OHB，得，
∴．
聯(lián)立得，
依題意得、是方程的兩根，
∴，
∴，即D（0，1）．
∵∠BPC＝∠OCP，
∴DP＝DC＝3．
設(shè)P（，），過點P作PQ⊥軸于Q，

在Rt△PDQ中，，
∴．
解得（舍去），，
∴P（，）．
∵PN平分∠MNQ，
∴PT＝NT，
∴.
點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.