Question

已知直線y=（m-1）x+3與函數(shù)y=x²+m的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
（1）求關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-4=0的解．
（2）若將拋物線C₁：y=x²-（m-1）x+m-4繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到圖象C₂，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別與圖象C₁、C₂交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：∵直線y=（m-1）x+3與函數(shù)y=x²+m的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴2（m-1）+3=4+m
解得m=3
將m=3代入原方程化為x²-2x-1=0，
解得x₁=1+，x₂=1-．

（2）解：將m=3代入得拋物線：y=x²-2x-1=（x-1）²-2，把拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，
可得新拋物線的解析式的二次項(xiàng)的系數(shù)為-1，頂點(diǎn)變?yōu)椋?1，2），
∴所求的拋物線解析式為：y=-（x+1）²+2=-x²-2x+1，
∴將拋物線y=x²-2x-1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的圖象C₂的解析式為：y=-x²-2x+1．
設(shè)P（x，0），則M（x，x²-2x-1），N（x，-x²-2x+1），
∴MN=（x²-2x-1）-（-x²-2x+1）=2x²+2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，MN的長度最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）．
分析：（1）將兩函數(shù)聯(lián)立，求出m即可得到方程，求解即可；
（2）利用二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)180°后，系數(shù)之間的關(guān)系，得出新函數(shù)的解析式，在表示出M，N的坐標(biāo)，即可解決．
點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的判別式，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，還有二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)等，題目綜合性較強(qiáng)．