Question

如圖所示，在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)在圖中，設(shè)以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出下表． 　　由表易知 　　S2－S1＝2，S3－S2＝3，S3－S3＝4，S5－S4＝5，…… 　　由此，不難推測Sn－Sn－1＝n． 　　把上面(n－1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到 　　Sn－S1＝2＋3＋4＋…＋n， 　　因為S1＝2，所以 　　Sn＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋(1＋2＋3＋…＋n) 　　 　　這就證明了當n個圓過點P時，可把平面劃分為個平面區(qū)域． 　　下面對Sn－Sn－1＝n，即Sn＝Sn－1＋n的正確性略作說明． 　　因為Sn－1為n－1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n－1個圓相交，所以這個圓就被前n－1個圓分成n部分，加在Sn－1上，所以有Sn＝Sn－1＋n． 　　(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出下表． 　　由表容易發(fā)現(xiàn) 　　a1＝1， 　　a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…… 　　an－1－an－2＝n－2，an－an－1＝n－1． 　　n個式子相加 　　 　　所以，當有滿足條件的n個圓過P點時，這n個圓共有個交點．