如圖所示,在平面上有過同一點P,并且半徑相等的n個圓,其中任何兩個圓都有兩個交點,任何三個圓除P點外無其他公共點,那么試問:

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域?

(2)這n個圓共有多少個交點?

答案:
解析:

  解析:(1)在圖中,設(shè)以P點為公共點的圓有1,2,3,4,5個(取這n個特定的圓),觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個?為此,我們列出下表.

  由表易知

  S2-S1=2,S3-S2=3,S3-S3=4,S5-S4=5,……

  由此,不難推測Sn-Sn-1=n.

  把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加,就得到

  Sn-S1=2+3+4+…+n,

  因為S1=2,所以

  Sn=2+2+3+…+n=1+(1+2+3+…+n)

  

  這就證明了當n個圓過點P時,可把平面劃分為個平面區(qū)域.

  下面對Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正確性略作說明.

  因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù),當再加上一個圓,即當n個圓過定點P時,這個加上去的圓必與前n-1個圓相交,所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.

  (2)與(1)一樣,同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決.為此,可列出下表.

  由表容易發(fā)現(xiàn)

  a1=1,

  a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,……

  an-1-an-2=n-2,an-an-1=n-1.

  n個式子相加

  

  所以,當有滿足條件的n個圓過P點時,這n個圓共有個交點.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

9、如圖所示,在斜坡的頂部有一鐵塔AB,B是CD的中點,CD是水平的,在陽光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12米,塔影長DE=18米,小明和小華的身高都是1.6米,同一時刻,小明站在點E處,影子在坡面上,小華站在平地上,影子也在平地上,兩人的影長分別為2米和1米,那么塔高AB為
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米.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究型問題
如圖所示,在同一平面內(nèi),兩條直線相交時最多有1個交點,三條直線相交時最多有3個交點,四條直線相交時最多有6個交點.

(1)當五條直線相交時交點最多會有多少個?
(2)猜想n條直線相交時最多有幾個交點?(用含n的代數(shù)式表示)
(3)算一算,同一平面內(nèi)10條直線最多有多少個?
(4)平面上有10條直線,無任何3條交于一點(3條以上交于一點也無),也無重合,它們會出現(xiàn)31個交點嗎?如果能給出一個畫法;如果不能請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 北師大八年級版 2009-2010學(xué)年 第19-26期 總第175-182期 北師大版 題型:044

在如圖所示的直角坐標平面上,表示下列各點:(4,4),(14),(3,2),(82),(104),(4,4),(4,8),(87),(85),(4,6)

(1)用線段依次按照上述順序把各點連接起來形成一個圖案,這個圖案像什么?

(2)把這些點的橫坐標都加5,縱坐標不變,想象由這些點順次連接形成的圖案與(1)中的圖案有什么關(guān)系?

(3)把題目中各點的橫坐標不變,縱坐標都乘以-1,重新在圖中描點、連線,得到的圖案與(1)中的圖案有什么關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在斜坡的頂部有一鐵塔AB,B是CD的中點,CD是水平的,在陽光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12米,塔影長DE=18米,小明和小華的身高都是1.6米,同一時刻,小明站在點E處,影子在坡面上,小華站在平地上,影子也在平地上,兩人的影長分別為2米和1米,那么塔高AB為        米。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013屆四川新津縣棕新中學(xué)八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:填空題

如圖所示,在斜坡的頂部有一鐵塔AB,B是CD的中點,CD是水平的,在陽光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12米,塔影長DE=18米,小明和小華的身高都是1.6米,同一時刻,小明站在點E處,影子在坡面上,小華站在平地上,影子也在平地上,兩人的影長分別為2米和1米,那么塔高AB為         米。

 

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同步練習(xí)冊答案
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