Question

如圖，在直角坐標系xOy中，直線AB交x軸于A（1，0），交y軸負半軸于B（0，-5），C為x軸正半軸上一點，且CA=

4

5

CO．
（1）求△ABC的面積．
（2）延長BA到P，使得PA=AB，求P點的坐標．
（3）如圖，D是第三象限內一動點，且OD⊥BD，直線BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延長線于F．當D點運動時，

OD

OF

的大小是否發(fā)生變化？若改變，請說明理由；若不變，求出這個比值．

Answer 1

分析：（1）由A和B的坐標可求出AC的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）作PN⊥x軸于N，通過證明△PAN≌△BAO，可求出PN和ON的長，即可得到P點的坐標；
（3）當D點運動時，

OD

OF

的大小不發(fā)生變化，設BF與OD的交點為M，利用已知條件證明△FOB≌△DOC，得到OF=OD，求出OD：OF=1．

解答：解：（1）∵點A（1，0），點B（0，-5），
∴OA=1，OB=5，
∵CA=

4

5

CO，
∴CA=4，CO=5，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×4×5=10；

（2）作PN⊥x軸于N，
在△PAN和△BAO中，

∠PNA=∠BOA=90° ∠PAN=∠BAO PA=BA

，
∴△PAN≌△BAO（AAS），
∴PN=OB，AN=AO，
∴PN=5，ON=2OA=2，
∴P（2，5）；

（3）當D點運動時，

OD

OF

的大小不發(fā)生變化，
理由如下：
設BF與OD的交點為M，
∵OF⊥OD，
∴∠F+∠∠FMD=90°，
又∵BE⊥CD，
∴∠FMD+∠DME=90°，
∵∠FMD=∠DME，
∴∠F=∠MDE，
∵OF⊥OD，OB⊥OC，
∴∠FOD=∠COB=90°，
∴∠FOD+∠DOB=∠COB+∠DOB，
∴∠FOB=∠DOC，
在△FOB和△DOC中，

∠F=∠ODC ∠FOB=∠DOC OB=OC

，
∴△FOB≌△DOC（AAS），
∴OF=OD，
∴

OD

OF

=1．

點評：本題考查了三角形的面積公式以及全等三角形的判定與性質等知識點，題目的綜合性很強，難度不小．