![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201404/5347938b5fb8f.png)
解:(1)連結OA,OC,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB,CN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CD,在Rt△AOM中,AM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/243943.png)
,在Rt△CON中,CN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/555151.png)
,
∵OA=OC,OM=ON,
∴AM=CN,
∴AB=CD;
(2)分別過O點作△ABC三邊的垂線,垂足分別為點P、M、N,連OA、OC,
∵O為△ABC的角平分線的交點,
∴OP=OM=ON,
∴DB=BE=GF,
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG,
∴Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,
∴AP=AN,CM=CN,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201404/5347938b6c40f.png)
∴AD=AG=9,CE=CF=2,
設BD=x,則AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,
∵AC
2=AB
2+BC
2,
∴(11+x)
2=(9+x)
2+(2+x)
2,
∴x
2=36,
∴x=6,
∴△ABC的周長=9+x+2+x+11+x=3x+22=40.
分析:(1)連結OA,OC,根據(jù)垂徑定理得到AM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB,CN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CD,再利用勾股定理得到AM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/243943.png)
,CN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/555151.png)
,又OA=OC,OM=ON即可得到結論;
(2)分別過O點作△ABC三邊的垂線,垂足分別為點P、M、N,連OA、OC,根據(jù)O為△ABC的角平分線的交點得到OP=OM=ON,根據(jù)(1)的結論得到DB=BE=GF,再根據(jù)垂徑定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG,易證得Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,可得到AP=AN,CM=CN,則AD=AG=9,CE=CF=2,設BD=x,則AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,根據(jù)勾股定理得到關于x的方程,解方程求出x即可得到三角形的周長.
點評:本題考查了圓的綜合,用到的知識點是垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質、三角形內心的性質等,關鍵是用x表示出AB、BC、AC的長.