作業(yè)寶小雅同學在學習圓的基本性質時發(fā)現(xiàn)了一個結論:如圖,在⊙O中,OM⊥弦AB于點M,ON⊥弦CD于點N,若OM=ON,則AB=CD.
(1)請幫小雅證明這個結論; 
(2)運用以上結論解決問題:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O為△ABC的角平分線的交點,以O為圓心,OB為半徑的⊙O與△ABC三邊分別相交于點D、E、F、G,若AD=9,CF=2,求△ABC的周長.

解:(1)連結OA,OC,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=AB,CN=CD,在Rt△AOM中,AM=,在Rt△CON中,CN=
∵OA=OC,OM=ON,
∴AM=CN,
∴AB=CD;

(2)分別過O點作△ABC三邊的垂線,垂足分別為點P、M、N,連OA、OC,
∵O為△ABC的角平分線的交點,
∴OP=OM=ON,
∴DB=BE=GF,
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG,
∴Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,
∴AP=AN,CM=CN,
∴AD=AG=9,CE=CF=2,
設BD=x,則AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,
∵AC2=AB2+BC2,
∴(11+x)2=(9+x)2+(2+x)2
∴x2=36,
∴x=6,
∴△ABC的周長=9+x+2+x+11+x=3x+22=40.
分析:(1)連結OA,OC,根據(jù)垂徑定理得到AM=AB,CN=CD,再利用勾股定理得到AM=,CN=,又OA=OC,OM=ON即可得到結論;
(2)分別過O點作△ABC三邊的垂線,垂足分別為點P、M、N,連OA、OC,根據(jù)O為△ABC的角平分線的交點得到OP=OM=ON,根據(jù)(1)的結論得到DB=BE=GF,再根據(jù)垂徑定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG,易證得Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,可得到AP=AN,CM=CN,則AD=AG=9,CE=CF=2,設BD=x,則AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,根據(jù)勾股定理得到關于x的方程,解方程求出x即可得到三角形的周長.
點評:本題考查了圓的綜合,用到的知識點是垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質、三角形內心的性質等,關鍵是用x表示出AB、BC、AC的長.
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(1)請幫小雅證明這個結論;
(2)運用以上結論解決問題:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O為△ABC的內心,以O為圓心,OB為半徑的O D與△ABC三邊分別相交于點D、E、F、G.若AD=9,CF=2,求△ABC的周長.

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