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(2009•梅州)如圖,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.點E是CD上的動點,以AE為直徑的⊙O與AB交于點F,過點F作FG⊥BE于點G.
(1)當E是CD的中點時:
①tan∠EAB的值為______;
②證明:FG是⊙O的切線;
(2)試探究:BE能否與⊙O相切?若能,求出此時DE的長;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)①在Rt△ADE中,已知了DE、AD的長,可求出∠DEA的正切值.由于∠DEA和∠EAB是兩條平行線的內錯角,因此它們的正切值相等,由此得解;
②連接OF,證OF⊥FG即可.由于O、F分別是AE、AB的中點,因此OF是△ABE的中位線,即OF∥BE,由于FG⊥BE,可證得OF⊥FG,即可得出所證的結論;
(2)先假設BE能與⊙O相切,則AE⊥BE,即∠AEB=90°.易證得△ADE∽△ECB,可得:AD:DE=EC:CB;設DE的長為x,然后用x表示出CE的長,代入上面的比例關系中,可得出一個關于x的一元二次方程,若BE能與⊙O相切,那么方程的解即為DE的長;若方程無解,則說明BE不可能與⊙O相切.
解答:解:(1)①過E作EH⊥AB于點H,則EF=AD=3,AF=DE=AB=,
故tan∠EAB===;

②法一:在矩形ABCD中,AD=BC,∠ADE=∠BCE,
又CE=DE,
∴△ADE≌△BCE,
得AE=BE,∠EAB=∠EBA.
連接OF,則OF=OA,
∴∠OAF=∠OFA,∠OFA=∠EBA.
∴OF∥EB.
∵FG⊥BE,
∴FG⊥OF,
∴FG是⊙O的切線.
(法二:提示:連EF,DF,證四邊形DFBE是平行四邊形.)
(2)法一:假設BE能與⊙O相切.
∵AE是⊙O的直徑,
∴AE⊥BE,則∠DEA+∠BEC=90°.
又∠EBC+∠BEC=90°,
∴∠DEA=∠EBC,
∴Rt△ADE∽Rt△CEB,

設DE=x,則EC=5-x,AD=BC=3,
,
整理得x2-5x+9=0.
∵b2-4ac=25-36=-11<0,
∴該方程無實數根,
∴點E不存在,BE不能與⊙O相切.
法二:若BE能與⊙O相切,因AE是⊙O的直徑,則AE⊥BE,∠AEB=90°.
設DE=x,則EC=5-x.
由勾股定理得:AE2+EB2=AB2,
即(9+x2)+[(5-x)2+9]=25,
整理得x2-5x+9=0,
∵b2-4ac=25-36=-11<0,
∴該方程無實數根,
∴點E不存在,BE不能與⊙O相切.
(法三:本題可以通過判斷以AB為直徑的圓與DC是否有交點來求解)
點評:本題主要考查了圓周角定理、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、解直角三角形的應用等知識.涉及的知識點較多,難度較大.
練習冊系列答案
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(1)直接寫出直線L的解析式;
(2)設OP=t,△OPQ的面積為S,求S關于t的函數關系式;并求出當0<t<2時,S的最大值;
(3)直線L1過點A且與x軸平行,問在L1上是否存在點C,使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出點C的坐標,并證明;若不存在,請說明理由.

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